實際上，動機很簡單。

當您使用線性電路並僅用一個頻率對其進行激勵時，無論您在哪裡看，都將始終發現相同的頻率，只有振幅和您測量的波的相位。

然後您會說的很好，讓我們忘了頻率，如果我跟踪電路周圍電壓和/或電流的幅度和相位，將綽綽有餘。 。但是你該怎麼做呢？沒有任何數學工具可以讓您跟踪振幅和相位嗎？是的，您已經明白了：向量。向量具有振幅（即長度）和相位（即與x軸形成的角度，ccw方向為正）。

現在您可以反對，向量很好，但不是。有沒有涼爽的東西？以及為什麼我們需要使用虛數單位？

第二個問題的答案很簡單：使用向量進行計算是一種痛苦，一種符號痛苦：

$$ \ pmatrix {2 \\ 3} + \ pmatrix {1 \\ 7} = \ pmatrix {3 \\ 10} $$

這就是加法！好吧，這只是一個表示法問題，如果我們選擇\ $ \ mathbb {R} ^ 2 \ $的另一個基數，則可能會更好……而且這個基數確實存在，但需要虛數單位\ $ j \ $。以前的混亂變成了：$$ 2 + 3j + 1 + 7j = 3 + 10j $$容易得多，不是嗎？

好，但是虛數向量和電壓有何共同之處？好吧，試想一下高斯平面，x軸是實軸，y軸是虛軸。

電壓可以用一個以原點為中心的矢量表示，其長度等於電壓值，它的起始角等於相位。現在魔術了：開始旋轉矢量，使其角速度\ $ \ omega \ $對應於所需的頻率：

Bam。這就是我們所說的相量，那個小傢伙是您抵抗強硬電路的最強武器。

那麼為什麼這些相量特別？這是因為如果您採用兩個實際電壓： v_1（t）= V_1 \ cos（2 \ pi f_0t + \ theta_1）\\ v_2（t）= V_2 \ cos（2 \ pi f_0t + \ theta_2）$$而您想將它們求和相應的相量，然後返回真實域結果相同。當然這不是魔術，它取決於餘弦曲線和復指數之間的數學親和力。只要相信我，或者相信這張漂亮的照片：

最好的是，您已經學習了所有真實電路分析現在可以繼續使用相量和復數阻抗。那就是：歐姆定律適用於相量和復阻抗，這很棒，因為我們有大量工具可以解決基於歐姆定律和基爾霍夫定律的電路，並且我們仍然可以使用它們。 p>

使用相量進行微分/積分也非常容易：如您所知，由於我們所說的正弦和余弦都在相同的頻率，所以這僅僅是相移的問題，

TL; DR：正弦曲線在極平面上表示為旋轉矢量，這很像在旋轉時停止時間並取一個正弦。照片，即計算相位和幅度關係。只需查看Wikipedia上的相量頁面。並檢查這個其他更簡潔的答案。

語錄：“僅僅是從數學的角度來看，使電路分析更容易嗎？”

我不確定問題的這一部分是否已經得到足夠的回答。因此：是的-使用複雜的數學來描述正弦信號沒有直接的物理意義。只是為了“使分析更容易”。

例如：將Euler著名的竇信號公式引入傅里葉級數會產生負頻率（對稱於正頻率）。因此，出現了一個問題：現實中是否存在負頻率？答案是不！它只是一個有用的數學工具。

主要要注意的是，任何週期信號（具有一些基本的分析限制，這些限制在實踐中都可以應用，或者如果不是完全精確，則可以應用到任意程度）可以表示為頻率為信號周期的倍數。

現在，一旦您離開了直接響應的統治時期（如電阻器），就可以存儲和獲取能量。線圈存儲磁能（施加電壓和電流僅逐漸開始，但在電壓擊穿時仍繼續運行），電容器存儲電能（施加電流和電壓僅逐漸開始，但在電流擊穿時仍保持開行），質量逐漸將力轉換為脈衝，彈簧逐漸將衝量轉化為力，等等。

許多形式的動力基本上是某種激勵措施的平方。現在證明，同一參數的正弦和余弦的平方和為1。一個常數。因此，您對使用正弦和余弦描述能量的周期性轉換非常了解。

事實證明，使用正弦和余弦的代數是微不足道的。如果您添加一種虛構的術語來表示您不感興趣的周期信號的能量形式，並丟棄完成後剩下的任何虛構部分，則代數運算將變得更加簡單，而實際變量卻變得複雜

假設我們有一個簡單的電路，其電壓源\ $ v（t）= Vcos（\ omega t + \ phi）\ $與電感為\ $ L \ $的電感線圈串聯連接。然後，

$$ v（t）= Re \ {Ve ^ {j（\ omega t + \ phi）} \} = L \ frac {di} {dt} \\ Re \ {Ve ^ {j（\ omega t + \ phi）} \} \ dt = L \ di \\ \ int Re \ {Ve ^ {j（\ omega t + \ phi）} \} \ dt = L \ int \ di \\ Re \ {\ int Ve ^ {j（\ omega t + \ phi）} \ dt \} = L i（t）\\ Re \ {\ frac {1} {j \ omega} Ve ^ {j（\ omega t + \ phi）} \} = Li（t）\\ i（t）= Re \ {\ frac {1} {j \ omega L} Ve ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} \} $$

這能給我們帶來什麼？好了，我們可以簡單地將線圈當作值為\ $ j \ omega L \ $的電阻器，然後可以用常量\ $ v_o = Ve ^ {j \ phi} \ $替換\ $ v（t）\ $在此簡化電路中，我們使用歐姆定律找到\ $ i_o = \ frac {v_o} {R} = \ frac {v_o} {j \ omega L} \ $。然後，為了找到\ $ i（t）\ $的實際值，我們只需將\ $ i_o \ $乘以\ $ e ^ {j \ omega t} \ $並取其實數。這可以擴展到所有無源組件。因此，我們可以 model的所有交替量都具有復數，從而簡化了所有 過程中的計算。然後，我們可以在需要時將它們改回其非複雜形式。

我假設我們同意它們是在任意時刻，幅度和相位下代表交流信號的兩條信息，而它們僅是直流的幅度。

這不僅是分析需要處理信息的地方，還包括電路的設計。組件具有阻抗，並影響交流信號。因此，在設計時，我們需要能夠計算阻抗，以設計具有特定交流電特性的電路。

複數便於表示和計算交流信號和阻抗。長度和角度這兩個維度使我們能夠一起計算幅度和相位，並使它們保持一致。