模擬此電路 –使用 CircuitLab sup> p創建的原理圖> 我們可以使用歐姆定律和電容器方程為\ $ v_o \ $節點創建一個KCL方程。
$$ i_R = i_C $$$$$ \ frac {v_i-v_o} {R} = C \ frac {dv_o} {dt} $$$$ RC \ frac {dv_o} {dt} + v_o = v_i $$
\ $ v_i \ $和\ $ v_o \ $都是\ $ t \ $的函數。這是線性一階微分方程。解決的難易程度取決於\ $ v_i \ $。最簡單的情況是\ $ v_i \ $是常量：
$$ RC \ frac {dv_o} {dt} = v_i-v_o $$$$$ int \\ int {\ frac {dv_o} {v_i- v_o}} = \ int \ frac {1} {RC} dt $$$$-ln（v_i-v_o）= \ frac t {RC} + C_0 $$$$$ v_i-v_o = e ^ {-t / RC} e ^ {-C_0} $$
\ $ C_0 \ $是積分常數。為簡單起見，我們將\\ $ e ^ {-C_0} \ $命名為\ $ C_1 \ $：
$$ v_i-v_o = C_1e ^ {-t / RC} $$
我們需要一個初始條件來求解\ $ C_1 \ $。此條件是\ $ v_i-v_o \ $在\ $ t = 0 \ $處的值。如果電容器已放電，則\ $ v_o（t = 0）= 0 \ $和\ $ C_1 = v_i \ $，從而產生指數衰減：
$$ v_o = v_i-v_ie ^ {-t / RC} $$$$ v_o = v_i（1-e ^ {-t / RC}）$$
如果電容器已充電，\ $ v_o（t = 0）= v_i \ $和\ $ C_1 = 0 \ $，這將為我們提供直流條件：
$$ v_o = v_i-0 \ cdot e ^ {-t / RC} = v_i $$
因此，在直流電下，電容器的作用就像開路。但是什麼算作DC？一直以來，沒有電壓是真正恆定的。五分鐘甚至都沒有變！ 時間常數 \ $ RC \ $告訴我們在電容器電壓足夠滿足我們的需求之前，我們需要等待多長時間。假設我們翻轉了一個開關，然後通過一個電阻將一個直流電壓連接到一個未充電的電容器。電容器電壓穩定到最終值的0.1％以內需要多長時間？
$$ v_o = 0.999v_i = v_i（1- e ^ {-t / RC}）$$$$ e ^ {-t / RC} = 0.001 $$$$ t = -RC \ ln 0.001 $$
如果\ $ R = 10 \ k \ Omega \ $和\ $ C = 1 \ \ mu F \ $，答案是69毫秒。
現在我們有了DC的實際定義，讓我們看一下AC。我們只在這裡考慮正弦曲線，因為您可以使用傅立葉變換來表達任何正弦曲線信號。回到我們的微分方程：
$$ RC \ frac {dv_o} {dt} + v_o = V_i \ cos（\ omega t）$$
這裡有一些討厭的觸發我不會經歷的。我會給你簡短的版本。根據微分方程的形式，您假定\ $ v_o \ $必須類似於：
$$ v_o = A \ cos（\ omega t）+ B \ sin（\ omega t） $$
然後，在完成許多 工作之後，您發現最終答案是：
$$ v_o = \ frac {V_i} {\ sqrt {1 +（\ omega RC）^ 2}} \ cos（\ omega t-\ tan ^ {-1}（\ omega RC））$$
請注意，
$$ \ frac {d} {dt} A \ cos（\ omega t + \ phi）= A \ omega \ cos（\ omega t + \ phi）$$
還請注意，該電壓與輸入電壓具有相同的頻率，但幅度和相位不同。
求解這樣的微分方程既困難又費時。幸運的是，有一種更簡單的方法-相量分析。而不是使用實值正弦和余弦，我們使用複雜的指數，例如\ $ e ^ {j \ omega t} \ $。這些使微分方程式變得更加簡單，從而使頻率（始終相同）完全消失，僅留下振幅和相位。我們可以將它們組合成單個複數值。
$$ v_c = V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ i_c = I_C e ^ {j \ omega t + \ phi} = I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi $$$$ i_C = C \ frac {dv_c} {dt} $$$$ I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi = C \ frac {d} {dt} V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ I_C e ^ {j \ omega t} e ^ \ phi = j \ omega C V_C e ^ {j \ omega t} $$$$ I_C e ^ \ phi = j \ omega C V_C $$$$ \ frac {V_C} {I_C} e ^ {-\ phi} = \ frac 1 {j \ omega C} $$
$$ Z_C = \ frac 1 {j \ omega C} $$
此“阻抗”的作用就像是複數值的抵抗，並且遵循類似於歐姆定律的規則。如您所見，它也取決於角頻率\ $ \ omega \ $。頻率大時電流電壓比大，頻率小時電流電壓比小。在極端情況下，我們說電容器在直流下就像開路，而在高頻下就像短路。這意味著在DC上，您可以在電容器上施加較大的電壓，而無需電流通過電容器。在高頻下，您可以在電容器上流過大電流而看不到電容器兩端的電壓。
我希望這個龐然大物的答案可以澄清一些問題。如果您不了解任何內容，請隨時提出後續問題。
