Syed Mohammad Asjad
2017-08-11 15:07:57 UTC
不連續會導致信號具有無限的正弦波分量，但是三角波是連續的，我正在上一堂課，講師說，由於三角波是連續的，因此可以用有限數量的正弦分量表示，並且還顯示出正弦波的多個頻率的有限加法，確實給出了純三角波的形狀。
我要記住的唯一問題是，三角波的導數不是連續的，因為它是方波，因此將需要無窮大的正弦波，因此，如果將導數的傅立葉級數的公式的兩邊都推導，一個三角波，我們將得到一個方波，顯示為有限數量的正弦波之和。那會不正確嗎？
三角波確實有一個無限的傅立葉級數。請記住，導師容易犯錯。
您的教練問您時說了什麼？
@SolarMike我還沒有問過他，因為我想起來了，我現在確定
@Syed Mohammad Asjad：您對派生詞的推理是正確的。也許您比老師對這件事有更好的了解。
實際上，為了具有有限的傅立葉級數，函數*及其所有導數*必須是連續的。正弦曲線的所有導數都是連續的，正弦曲線的任何有限和也是如此。
整個10秒鐘的時間即可檢查Wikipedia，以確認[三角波]（https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_wave）具有無限數量的非零諧波
不是答案，而是：具有有限係數的傅立葉級數非常嚴格。大多數週期函數具有無限傅立葉級數。但是，函數越平滑，無窮大處係數的衰減越快。如果一個函數是有界導數的k倍可微分，那麼它的傅里葉係數（c_n）的衰減速度最快可達1 / n ^（k +1），可以通過歸納法看出。對於解析函數（具有收斂泰勒級數的函數，即比無限微分更平滑的函數），衰減是指數的。三角形的傅里葉級數正好是1 / n ^ 2。
@AlexandreC：我可以得到一個線索嗎？通常，可以將係數為1 / n ^ 2的級數求和為有限級數，但顯然不能。
@Joshua,合計1 / n ^ 2很好。在這裡，您求和1 / n ^ 2乘以sin（nx）。現在，sum（1 / n ^ 2 * sin（2pi nx））收斂到一個三角函數。甚至sum（1 / n * sin（2pi nx））逐點收斂到矩形函數。