題:
三角波將具有有限的或無限的正弦波分量嗎?
Syed Mohammad Asjad
2017-08-11 15:07:57 UTC
view on stackexchange narkive permalink

不連續會導致信號具有無限的正弦波分量,但是三角波是連續的,我正在上一堂課,講師說,由於三角波是連續的,因此可以用有限數量的正弦分量表示,並且還顯示出正弦波的多個頻率的有限加法,確實給出了純三角波的形狀。

我要記住的唯一問題是,三角波的導數不是連續的,因為它是方波,因此將需要無窮大的正弦波,因此,如果將導數的傅立葉級數的公式的兩邊都推導,一個三角波,我們將得到一個方波,顯示為有限數量的正弦波之和。那會不正確嗎?

三角波確實有一個無限的傅立葉級數。請記住,導師容易犯錯。
您的教練問您時說了什麼?
@SolarMike我還沒有問過他,因為我想起來了,我現在確定
@Syed Mohammad Asjad:您對派生詞的推理是正確的。也許您比老師對這件事有更好的了解。
實際上,為了具有有限的傅立葉級數,函數*及其所有導數*必須是連續的。正弦曲線的所有導數都是連續的,正弦曲線的任何有限和也是如此。
整個10秒鐘的時間即可檢查Wikipedia,以確認[三角波](https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_wave)具有無限數量的非零諧波
不是答案,而是:具有有限係數的傅立葉級數非常嚴格。大多數週期函數具有無限傅立葉級數。但是,函數越平滑,無窮大處係數的衰減越快。如果一個函數是有界導數的k倍可微分,那麼它的傅里葉係數(c_n)的衰減速度最快可達1 / n ^(k +1),可以通過歸納法看出。對於解析函數(具有收斂泰勒級數的函數,即比無限微分更平滑的函數),衰減是指數的。三角形的傅里葉級數正好是1 / n ^ 2。
@AlexandreC:我可以得到一個線索嗎?通常,可以將係數為1 / n ^ 2的級數求和為有限級數,但顯然不能。
@Joshua,合計1 / n ^ 2很好。在這裡,您求和1 / n ^ 2乘以sin(nx)。現在,sum(1 / n ^ 2 * sin(2pi nx))收斂到一個三角函數。甚至sum(1 / n * sin(2pi nx))逐點收斂到矩形函數。
七 答案:
Andy aka
2017-08-11 15:30:40 UTC
view on stackexchange narkive permalink

三角波是連續的

此處引用:-

三角波沒有不連續的跳躍,但斜率會變化 每個週期不連續兩次

具有不連續的坡度變化也意味著無限範圍的正弦波分量。

例如,如果您對一個方波進行時間積分,則會產生一個三角波,但是在時間積分之後,原始方波的所有重音仍然存在:-

enter image description here

一直在想同樣的事情,圖形表示很有幫助,謝謝:)
Olin Lathrop
2017-08-11 16:18:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink
講師說,由於三角波是連續的,因此可以用有限數量的正弦表示。

您沒有正確執行此操作,或者您的老師錯了。信號本身連續是不夠的,但是所有導數也必須連續。如果導數中存在不連續性,則重複信號將具有無限的諧波序列。

一個三角形是連續的,但是它的一階導數是一個不連續的方波。因此,三角波具有無限的諧波序列。

沒有,我沒聽錯,他也沒打錯,因為他說了兩次,後來又問全班他說了什麼,以及我當時的想法:)
@SyedMohammadAsjad,您說的對。來自谷歌;*未命中:*“以不夠清晰或準確的方式表達自己。”我認為你們中的一個正在使用“不夠清晰”,而另一個正在使用“不夠準確”。
儘管此答案的措詞在某種程度上表明了這一點,但所有導數都存在(因此由於存在下一個導數而是連續的)這一事實,仍然不足以具有有限的傅立葉級數。大多數用於週期信號的傅立葉級數,無論多麼平滑(類\\數學C ^ \ infty $,甚至是解析類),都有無限多個非零分量;除“有限的正弦和余弦之和”外,很難對那些沒有的描述。平滑度所暗示的全部是係數_tend_為0的a。
磚濾器可以使諧波數有限,並且仍然看起來是/ \ / \ / \ / \ / \ //的三角形,至少有20個,遠離無限大
bobflux
2017-08-11 16:44:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

數學證明:

採用由正弦/餘弦分量有限系列的加權和組成的函數。

它的導數也是正弦/餘弦分量的有限序列的加權和。如果您進行任意次數的推導,都是相同的。

由於正弦和余弦是連續的,所以函數及其所有導數都是連續的。

因此,不能使用有限系列的正弦/餘弦分量來構建在任何導數中具有不連續性的函數。

正是我想的,謝謝:)
應該是“正弦和余弦是平滑的”,而不只是連續的,而且要旨是正確的,正弦和余弦的有限和是平滑的,因此在任何導數中都不能有間斷
@nimish他證明了所有導數都是(co)sines的有限和,因此他只需要(co)sines的連續性,而不需要平滑度:-)
是的,錯過了。儘管從$ \ exp(z)$對$ z \ in \ mathbb {C} $的分析來看,它仍然微不足道。
數學答案的榮譽在於*能夠解釋*數學,而不僅僅是粘貼!
是的我根本不知道“平滑函數”這個詞(法文寫為“無限可導”)
Trevor_G
2017-08-11 20:18:29 UTC
view on stackexchange narkive permalink

這裡有很多好的答案,但這實際上取決於您對“可以用”表示的解釋

必須了解三角波是一種理論上的數學結構,實際上並不存在。

從數學上講,要獲得純三角波,您將需要無限數量的諧波正弦波,但是要獲得三角波的表示形式,這些分量中的大多數都太小而無所謂,會在背景中丟失系統的噪音,或者頻率太高而無法傳輸。

因此,實際上,您只需要有限的數目即可獲得可用的表示形式。您希望該表示的好壞決定了您需要使用多少諧波。

那確實是要看的東西之一,我一定會問老師,他的意思是否是因為您是對的,實際上,我們根本不會使用無限頻率,即使在方波中也是如此(一個純正方形):)
儘管您認為三角波是一種數學構造是正確的,但您的推理是錯誤的。您無法使它產生有限的多次諧波這一事實並不能提供您根本無法做到的證明。
實際上,@yo'就是其中之一,我認為我們很多人都很難過。如果三角波=在某個點上無限數量的正弦波,則無法添加或傳遞諧波。如果它只是一個三角波....通過其他方式產生的...那麼...您如何傳輸它..以及傳輸它的事物如何知道其區別...讓我頭痛不已關於它。基本上,即使只是一小段電線或PCB走線...也不能不扭曲它。
簡而言之,數學理想與現實世界之間的差異。
Lorenzo Donati -- Codidact.com
2017-08-13 01:03:34 UTC
view on stackexchange narkive permalink

另一種方法。

我們將x(t)稱為三角波,並將y(t)稱為方波,它是方波,因此是不連續的。

如果x(t)是正弦信號的有限總和,那麼根據該操作的線性度,其導數將是正弦信號的有限導數之和,也就是正弦信號的有限總和。

但是後一個信號不能是方波y(t),因為正弦信號的有限和是連續的。因此,我們有一個矛盾。

因此,x(t)必須具有無限的傅立葉分量。

Joshua
2017-08-14 01:11:59 UTC
view on stackexchange narkive permalink

我建議在實踐中使用一個簡單得多的測試。如果波具有任何尖角,則需要建立無限的正弦波分量。

為什麼?因為一定數量的正弦波無法產生尖角。這是從歸納法求和的分解法則上證明的(即,對於所有有限和和所有無條件收斂的無限和,Σ(a + b)=Σa +Σb)。

Jared Goguen
2017-08-11 17:40:11 UTC
view on stackexchange narkive permalink

可由有限傅立葉級數表示的函數集為:

$$ F:= \ {f(x)= a_0 + \ sum_ {n} ^ {n \ in N}(a_n \ cos {nx} + b_n \ sin {nx})\} $$

對於所有有限的索引集 N 。逐項微分錶明,導數在(em)F 中是(1)連續的,(2)也是如此。由於三角波的導數不連續,因此三角波的功能不在 F 中。

該證明基於不連續性,但是大多數連續函數也不屬於 F 。由於不能將多項式或指數函數表示為正弦和余弦的有限和,因此 F 的唯一成員是上面形式明確列出的成員。



該問答將自動從英語翻譯而來。原始內容可在stackexchange上找到,我們感謝它分發的cc by-sa 3.0許可。
Loading...