不連續會導致信號具有無限的正弦波分量,但是三角波是連續的,我正在上一堂課,講師說,由於三角波是連續的,因此可以用有限數量的正弦分量表示,並且還顯示出正弦波的多個頻率的有限加法,確實給出了純三角波的形狀。
我要記住的唯一問題是,三角波的導數不是連續的,因為它是方波,因此將需要無窮大的正弦波,因此,如果將導數的傅立葉級數的公式的兩邊都推導,一個三角波,我們將得到一個方波,顯示為有限數量的正弦波之和。那會不正確嗎?
不連續會導致信號具有無限的正弦波分量,但是三角波是連續的,我正在上一堂課,講師說,由於三角波是連續的,因此可以用有限數量的正弦分量表示,並且還顯示出正弦波的多個頻率的有限加法,確實給出了純三角波的形狀。
我要記住的唯一問題是,三角波的導數不是連續的,因為它是方波,因此將需要無窮大的正弦波,因此,如果將導數的傅立葉級數的公式的兩邊都推導,一個三角波,我們將得到一個方波,顯示為有限數量的正弦波之和。那會不正確嗎?
三角波是連續的
從此處引用:-
三角波沒有不連續的跳躍,但斜率會變化 每個週期不連續兩次
具有不連續的坡度變化也意味著無限範圍的正弦波分量。
例如,如果您對一個方波進行時間積分,則會產生一個三角波,但是在時間積分之後,原始方波的所有重音仍然存在:-
講師說,由於三角波是連續的,因此可以用有限數量的正弦表示。
您沒有正確執行此操作,或者您的老師錯了。信號本身連續是不夠的,但是所有導數也必須連續。如果導數中存在不連續性,則重複信號將具有無限的諧波序列。
一個三角形是連續的,但是它的一階導數是一個不連續的方波。因此,三角波具有無限的諧波序列。
數學證明:
採用由正弦/餘弦分量有限系列的加權和組成的函數。
它的導數也是正弦/餘弦分量的有限序列的加權和。如果您進行任意次數的推導,都是相同的。
由於正弦和余弦是連續的,所以函數及其所有導數都是連續的。
因此,不能使用有限系列的正弦/餘弦分量來構建在任何導數中具有不連續性的函數。
這裡有很多好的答案,但這實際上取決於您對“可以用”表示的解釋。
必須了解三角波是一種理論上的數學結構,實際上並不存在。
從數學上講,要獲得純三角波,您將需要無限數量的諧波正弦波,但是要獲得三角波的表示形式,這些分量中的大多數都太小而無所謂,會在背景中丟失系統的噪音,或者頻率太高而無法傳輸。
因此,實際上,您只需要有限的數目即可獲得可用的表示形式。您希望該表示的好壞決定了您需要使用多少諧波。
另一種方法。
我們將x(t)稱為三角波,並將y(t)稱為方波,它是方波,因此是不連續的。
如果x(t)是正弦信號的有限總和,那麼根據該操作的線性度,其導數將是正弦信號的有限導數之和,也就是正弦信號的有限總和。但是後一個信號不能是方波y(t),因為正弦信號的有限和是連續的。因此,我們有一個矛盾。
因此,x(t)必須具有無限的傅立葉分量。
我建議在實踐中使用一個簡單得多的測試。如果波具有任何尖角,則需要建立無限的正弦波分量。
為什麼?因為一定數量的正弦波無法產生尖角。這是從歸納法求和的分解法則上證明的(即,對於所有有限和和所有無條件收斂的無限和,Σ(a + b)=Σa +Σb)。
可由有限傅立葉級數表示的函數集為:
$$ F:= \ {f(x)= a_0 + \ sum_ {n} ^ {n \ in N}(a_n \ cos {nx} + b_n \ sin {nx})\} $$
對於所有有限的索引集 N 。逐項微分錶明,導數在(em)F 中是(1)連續的,(2)也是如此。由於三角波的導數不連續,因此三角波的功能不在 F 中。
該證明基於不連續性,但是大多數連續函數也不屬於 F 。由於不能將多項式或指數函數表示為正弦和余弦的有限和,因此 F 的唯一成員是上面形式明確列出的成員。