我對這些話題有些困惑。他們都開始對我看起來一樣。它們似乎具有相同的屬性，例如與它們相關的線性，平移和縮放。我似乎無法將它們分開放置並確定每個轉換的目的。另外，其中哪一個用於頻率分析？
我（與Google）找不到解決此特定問題的完整答案。我希望看到它們在同一頁上進行比較，以便使我更加清楚。
Laplace和Fourier變換是連續函數的連續（整數）變換。
Laplace變換將函數\ $ f（t）\ $映射到函數\複雜變量 s 的$ F（s）\ $，其中\ $ s = \ sigma + j \ omega \ $。
由於導數\ $ \ dot f（ t）= \ frac {df（t）} {dt} \ $映射到\ $ sF（s）\ $，線性微分方程的拉普拉斯變換是一個代數方程。因此，拉普拉斯變換尤其適用於求解線性微分方程。
如果將復變量 s 的實部設置為零，則\ $ \ sigma = 0 \ $，結果就是傅立葉變換\ $ F（j \ omega）\ $，實際上是\ $ f（t）\ $的頻域表示（請注意，這是正確的僅當對於\ $ \ sigma \ $的值存在用於獲得\ $ f（t）\ $的拉普拉斯變換的公式，即，它不會變為無窮大時。）
Z變換本質上是Laplace變換的離散形式，因此對於解決差分方程（差分方程的離散版本）非常有用。 Z變換將序列\ $ f [n] \ $映射到復雜變量\ $ z = re ^ {j \ Omega} \ $的連續函數\ $ F（z）\ $。
如果將 z 的大小設置為1，則\ $ r = 1 \ $，結果是離散時間傅立葉變換（DTFT）\ $ F（j \ Omega）\ $ \ $ f [n] \ $的頻域表示形式。
此外，對於非因果信號，您比拉普拉斯更可能使用傅立葉變換，因為拉普拉斯（Laplace）變換在用作單邊（單面）變換時使生活變得更加輕鬆。您也可以在兩面都使用它們，結果在有些數學差異的情況下可以得出相同的結果。
傅立葉變換用於在頻域中轉換/表示時變函數。
拉普拉斯變換用於在“積分域”中轉換/表示時變函數
Z變換與laplace非常相似，但它們是離散的時間間隔轉換，更接近於數字實現。它們的外觀都相同，因為用於轉換的方法非常相似。
我將通過一個基於電路的示例來解釋拉普拉斯變換和傅立葉變換之間的區別。因此，假設我們有一個用已知微分方程描述的系統，例如，假設我們有一個公共的RLC電路。還要假設使用一個公共開關來接通或斷開電路。現在，如果要研究正弦穩態的電路，則必須使用傅立葉變換。否則，如果我們的分析包括接通或斷開電路，則必須對微分方程實施拉普拉斯變換。
換句話說，拉普拉斯變換用於研究系統響應從初始狀態到最終正弦穩態的瞬態演化。它不僅包括系統初始狀態的瞬態現象，還包括最終的正弦曲線穩態。
用於不同工作的不同工具。早在16世紀末，天文學家就開始進行令人討厭的計算。首先計算對數以將乘法和除法轉換為更容易的加法和減法。同樣，Laplace和Z變換將討厭的微分方程變成代數方程，您有機會求解。最初發明了Fourier級數來求解磚塊和其他偏微分方程中的熱流。隨後用於振動弦，風琴管和時間序列分析的應用程序。
在任何用於計算傳遞函數的LTI系統中，我們僅使用拉普拉斯變換而不是傅立葉或z變換，因為在傅立葉中，我們得到有界輸出；它不會達到無窮大。 z變換用於離散信號，但是LTI系統是連續信號，因此我們不能使用z變換。 因此，通過使用拉普拉斯變換，我們可以計算任何LTI系統的傳遞函數。