複數與向量相似，但是具有一些額外的數學屬性，使它們變得有用。最值得注意的是，使用複雜的指數 \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ span>代替正弦和余弦可使微分方程更易於處理。就是這樣首先獲得複數阻抗的方法：

$$ v（t）= A \ mathrm e ^ {\ mathrm {j} \ omega t + \ theta} $$ span> $$ i（t）= B \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t + \ phi} $$ span> $$ \ frac {v（t）} {i（t）} = Z = \ frac AB \ mathrm e ^ {\ mathrm j（\ theta-\ phi）} $$ span>

或者，以相量表示法：

$$ \ hat V = A \ angle \ theta $$ span> $$ \ hat I = B \ angle \ phi $$ span> $$ \ frac {\ hat V} {\ hat I} = Z = \ frac A B \ angle（\ theta-\ phi）$$ span>

對於幅度和相位，您可以使用矢量符號之類的方法，但是矢量不會像複數那樣進行乘法和除法，因此不會有任何改善。

EDIT：為解決某些代數問題而開發的複數。如果您想了解更多有關歷史的信息，請查閱Tristan Needham撰寫的Visual Complex Analysis第一章。 （如果您沒有方便的圖書館，則可以在Amazon上閱讀預覽。）

這本書的第二章也許可以單獨回答您的問題，但是我也會試一試。從某種意義上說，複數是二維量，但是使它們有用的地方在於它們還包含旋轉的概念。 \ $ \ sqrt {-1} \ $ span>的乘積等效於在2D平面中旋轉90°：

$$ \ mathrm i ^ 0 = 1 $$ span> $$ \ mathrm i ^ 1 = \ mathrm i $$ span> $$ \ mathrm i ^ 2 = -1 $$ span> $$ \ mathrm i ^ 3 =-\ mathrm i $$ span> $$ \ mathrm i ^ 4 = 1 $$ span>

我們可以使用複雜的指數對此進行擴展，讓我們以任意量表示旋轉：

$$ \ mathrm e ^ {j \ pi / 4} \ cdot \ mathrm e ^ {j \ pi / 4} = \ mathrm e ^ {j（\ pi / 4 + \ pi / 4）} = \ mathrm e ^ {j \ pi / 2} = \ mathrm i $$ span> $$ 45 ^ \ circ + 45 ^ \ circ = 90 ^ \ circ $$ span>

請注意，我們是通過普通的算術運算來實現的-將實值指數相乘的方法相同。

那為什麼重要？我們已經可以用正弦和余弦表示旋轉，對嗎？但這在微分方程中變得令人討厭，主要是因為您無法通過添加正弦和余弦來組合正弦和余弦。另一方面， \ $ \ mathrm e ^ x \ $ span>的派生詞是...本身。那裡沒有麻煩！

那麼阻抗從何而來？好吧，請考慮一下DC和正弦穩態之間的差異。在直流電下，節點電壓是具有不同幅度的恆定值。在交流電下，節點電壓為正弦波，頻率相同，但幅值和相位角不同。電壓/電流關係也改變。使用電阻器，電壓和電流同相。在電感器或電容器中，它們之間存在90°的相位差。

因此，現在旋轉的概念（相位“角度”）已經滲入我們的電路分析了。我們可以留在時域中，做這樣的事情：

$$ v = L \ frac {\ mathrm d i} {\ mathrm d t} $$ span> $$ V \ cos（\ omega t）= \ omega L \ cdot I \ cos（\ omega t-90 ^ \ circ）$$ span>

或者我們使用可能的複數，其中 \ $ 90 ^ \ circ \ $ span>旋轉僅表示乘以i（好吧， \ $ j \ $ span>（在本例中為EE）：

$$ V \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t} = \ mathrm j \ omega L \ cdot I \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t}$$ span>

這裡的主要好處是所有 \ $ \ mathrm e ^ {\ mathrm j \ omega t} \ $ span>項都從方程式中消除了，所以現在我們的電壓/電流關係就是帶有復數的歐姆定律：

$$ \ hat V = \ mathrm j \ omega L \ hat I $$ span>

如果我必須用一句話來總結所有這些，我會說複數使您可以通過將幅度和相位與頻率分開組合來表示旋轉，而正弦曲線將頻率和相位組合在一起。

為什麼要使用複數而不是向量？

因為矢量代數中沒有定義矢量除法，所以簡單地，您不能以除法形式使用歐姆定律，從而使計算更加複雜。另一方面，隨著時間的流逝，複數無神論的領域比矢量對應的領域有​​了更大的進步，因此您可以使用許多定理來簡化表達並（輕鬆）進行分析。因此，即使您可以使用向量代數，也可以更輕鬆地處理複數。

了解更多： https://math.stackexchange.com/questions/246594/what-is-vector-division

為什麼阻抗用複數表示？

考慮以下電路：

如果Q是電容器上的電荷，而i是電流，那麼使用KVL可以得到

$$ R \ times i + \ frac QC + L \ times \ frac {di} {dt} = V \ dots（1）$$ span> $$ \ implies \ frac {d ^ 2i} {dt ^ 2} + \ frac RL \ times \ frac {dQ} {dt} + \ frac 1 {LC} \ times = 0 \ dots（2）$$ span> $$ \表示我= Ae ^ {a_1t} + Be ^ {a ^ 2t} $$ span> 其中 $$ a_1，a_2 \ in C $$ span> 和二階微分方程的一般解本質上總是很複雜。

因此，您的 i 是複雜的表達式，將該值放在eq 1中將得到 V ，這也是一個複雜的表達式。用 V 除以 i i，您將得到另一個複雜的表達式，我們將該電路的阻抗稱為。 如此看來，阻抗之所以復雜是因為所涉及的數學問題。

現在，如果您想具有復雜阻抗的“感覺”，則應該了解相量並對此進行類比。

了解更多： https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/lecture-notes/MIT6_007S11_lec19.pdf

僅需說明一下，您可以將阻抗表示為矩陣：

$$ R + \ mathrm j X \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} $$ span>

這實際上是複數的矩陣表示形式。另一方面，您可以使用向量表示正弦信號（但不能表示阻抗）：

$$ x _ {\ cos} + \ mathrm j x _ {\ sin} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} x _ {\ cos} \\ x _ {\ sin} \ end {bmatrix} $$ span>

阻抗和正弦波的加/減/定標顯然只是矩陣和向量的同構運算。導納是阻抗的矩陣逆：

$$ （R + \ mathrm j X）^ {-1} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} ^ {-1} = \ frac 1 {（R ^ 2 + X ^ 2）} \ begin {bmatrix} R & -X \\ X & R \ end {bmatrix} $$ span>

您可以將阻抗與電流矩陣相乘，或者將導納與電壓矩陣相乘：

\開始{align} \ begin {bmatrix} R & X \\ -X & R \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i _ {\ cos} \\ i _ {\ sin} \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} R i _ {\ cos} + X i _ {\ sin} \\ R i _ {\ sin}-X i _ {\ cos} \ end {bmatrix} \\ \ begin {bmatrix} G & B \\ -B & G \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u _ {\ cos} \\ u _ {\ sin} \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} G u _ {\ cos} + B u _ {\ sin} \\ G u _ {\ sin}-B u _ {\ cos} \ end {bmatrix} \ end {align} span>

相位差也是一個矩陣：

$$ {\ mathrm e} ^ {\ mathrm j \ varphi} = \ cos \ varphi + \ mathrm j \ sin \ varphi \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} \ cos \ varphi & \ sin \ varphi \\ -\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {bmatrix} $$ span>

導數是 \ $ \ omega \ $ span>乘以90度相位導聯：

$$ \ mathrm j \ omega \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} 0 & \ omega \\ -\ omega & 0 \ end {bmatrix} $$ span>

到目前為止，我們已經可以將微分方程寫為矩陣方程

\開始{align} U_0 \ cos {\ omega t} = u + R C \ frac {\ mathrm d u} {\ mathrm d t} \ leftrightarrow \ begin {bmatrix} U_0 \\ 0 \ end {bmatrix} =（\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} + R C \開始{bmatrix} 0 & \ omega \\ -\ omega & 0 \ end {bmatrix}）\ mathbf u = \ begin {bmatrix} 1 & R C \ omega \\ -R C \ omega & 1 \ end {bmatrix} \ mathbf u \ end {align} span>

...並通過計算 \ $ \ begin {bmatrix}的逆矩陣來求解 1 & R C \ omega \\ -R C \ omega & 1 \ end {bmatrix} \ $ span>，然後將其乘以 \ $ U_0 \ $ span>向量。

如您所見，這種表示法非常冗長，並且不能提供相位和幅度的直觀表示（所有內容基本上都在笛卡爾坐標中）。

順便說一句，冪作為矢量點積很好地表示為

$$ \ frac 1 2（u _ {\ cos} i _ {\ cos} + u _ {\ sin} i _ {\ sin}）= \ frac 1 2 {\ mathbf i} ^ {\ mathrm T} \ mathbf u = \ frac 1 2 \開始{bmatrix} i _ {\ cos} & i _ {\ sin} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u _ {\ cos} \\ u _ {\ sin} \ end {bmatrix} $$ span>

簡而言之：您可以將阻抗可視化為一種向量，但是向量數學無法捕獲阻抗的行為。複數最初並不具有視覺吸引力，但從數學上講，它們的工作方式類似於電路中的阻抗功能。

這結合了我將分別解決的兩個概念：複數阻抗的行為以及復數如何表示這一點。

雖然電阻僅通過吸收能量來改變信號的幅度，但是複數阻抗可以改變信號的幅度和相位。這意味著阻抗可以存儲信號中的能量，然後將該能量返回給系統。這會導致響應延遲，對於週期性信號，響應可能會沿任一方向旋轉。

因此，對幅度和方向的綜合影響使我們回到您的問題：為什麼不使用向量？從一般意義上講，我們做到了！電力系統使用類似的概念，稱為相量。

這表示將某個頻率的信號（電流I）推入阻抗Z時發生的情況。電流以幅度和相位（角度）開始，阻抗會根據其自身的幅度和相位（旋轉）進行修改。產生的電壓V是幅度的乘積，旋轉幅度為角度之和。

在使用多相電源時，相量至關重要。每個相量都在跟踪複數值之間的差異。對於大多數音頻或RF信號，如果有一個公共參考，則V，I，Z相量會崩潰為單個（複雜）值。

這導致答案的最後一部分。複雜標量捕獲與矢量相同的信息-大小和角度-但它們在數學上的操作方式不同。如果將RF頻率描述為矢量值，則對阻抗進行建模將需要矩陣相乘以捕獲對幅度和相位的影響。向量乘法沒有任何辦法。複數的操作方式與阻抗相同，為表示阻抗的值和功能提供了理想的工具。

虛部代表相位或正弦波的延遲。 可以用pi，度或複數來表示。

資料來源： https://www.mathsisfun.com/algebra/amplitude-period-frequency-phase-shift.html

電氣組件會引起正弦波相移（電感器和電容器會這樣做）。我們可以將一個電容器或電感器將相移多少作為一個虛部表示，並將它們視為電阻器。這樣可以簡化電路分析

該屬性是理想的，因為我們可以使用虛數數學來攜帶相位信息，這比將sin函數與相位加在一起要容易得多。

复阻抗可以用相量（極性域）或正交（笛卡爾域）表示

極坐標對於電力系統分析中的單頻相移更為有用。

正交域對於電子產品更有用，在電子產品中，DCR，ESR和損耗與存儲的無功測量的明確參數可用，並且通常在數據表中指定。

數學：複數用於將域從t更改為頻率。在t域中，方程將是微分和積分的；在頻域中，方程將變得簡單。請參見拉普拉斯變換。這是一個數學解決方案，它創造了有關相量的概念。您在原始時域中看到的物理效應是由於電流或電壓隨時間變化的di / dt或i.dt的整數對樣本的影響，您可以在頻域中使用複數的虛分量。Z = r + jx包含一個實數部分R和一個部分X，這意味著由於電感中的交流電流而產生的變化的影響取決於法拉第定律和電容。相量的物理概念與矢量不同，它意味著時間呈交替變化，呈一條曲線，但無需使用時間即可寫入。

實際上，阻抗是具有實際值（電阻）和矢量的太陽。您的j = sqrt（-1）實際上是一個單位向量。請保密，但是還有兩個與j正交的單位向量。我們稱它們為i和k。i，j和k是3維空間中的標准單位向量，並且每個都是-1的平方根。此外，叉積i X j = k。所以復數只是向量加實數這個怪異空間的一個子集。考慮添加蘋果和猴子。